Transformada de Fourier
Ainda esta semana estivemos tentando encontrar um jeito diferente (e infelizmente menos confiável) de extrair a Anomalia Bouguer Residual (ABRd) da Anomalia Bouguer Total (ABT), eis que veio o ajuste polinomial na plataforma Surfer e a digitalização (ponto a ponto equidistantes) da curva desse polinômio, a Anomalia Bouguer Regional (ABRg). No entanto, a ABT quando extraída da plataforma Global Mapper, possuía 1025 pontos de amostragem, enquanto aquela digitalizada no Surfer apenas 54, tendo então um vetor de size 1025 (ABT) e outro de 54 (ABRg). Resumindo, desse jeito a extração da ABRd da ABT não seria nada amigável. Foi então necessário utilizar o MATLAB para interpolar esses pontos que faltavam no vetor de ABRg.
Após interpolação e efetuada a operação (ABRd = ABT - ABRg ), eu me perguntei "PRA QUE ISSO?, onde é que tá Fourier?"
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Figura 1. Pra que isso?
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Esse trabalho nem tão confiável poderia ter sido simplificado apenas com a aplicação da chamada Transformada de Fourier. Justo, devido ao fato de que, para nós da Geofísica, as n-Transformadas são rezas/orações diárias.
Mas... o que são essas ditas Transformadas, e o que é essa Transformada de Fourier?
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| Figura 2. Você está fazendo isso errado. |
Primeiramente, Fourier era um cara um tanto esperto, isso sem sombra de dúvidas. Jean-Baptiste Joseph Fourier era um físico-matemático francês que morreu em 1830. Aqui tem um pouco da vida dele.
Quando estudamos Operadores Lineares e suas Transformações Lineares em Álgebra Linear ( com todos os seus conceitos de função entre dois espaços vetoriais e afins) chegamos ao final para descobrir que essas operações têm por objetivo sair de um espaço para o outro basicamente, isto é, de um domínio para um contradomínio. MUDAR SEU PONTO DE VISTA! (Guarde isso).
A Transformada de Fourier é um dos artifícios matemáticos mais bem aplicados, isso porque suas aplicações estão presentes nos diversos campos que vão desde a "simples" compressão de uma imagem formato .jpeg à física quântica. Fourier mudou o ponto de vista dele e ajudou muita gente a mudar também.
Acredito que seja um bom exemplo, quando na aquisição sísmica damos um shot e logo o barulho da marreta acertando a placa metálica chega aos nossos ouvidos. Quando a marreta acerta a placa, faz-se com que haja vibração e deslocamento do ar que está ao redor. O ar "fica saltando" para lá e para cá numa dança periódica, em torno de uma frequência Y (exemplo melhor seria com um diapasão ao invés da marreta e a placa). Mas digamos que essa frequência de vibração, o som, pudesse ser vista, e o que se veria, seria na realidade uma curva ondulada com uma aproximação mega-exagerada de uma senoide assim:
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| Figura 3. Aproximação exagerada da curva |
Agora, se ao invés de uma única marretada na placa, fosse algo do tipo com 4 marretadas:
A onda sonora que se sente não é nada aconchegante, e novamente a aproximação exagerada, para essas 4 marretadas poderia ser algo assim:
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| Figura 4. Bagunça do sinal recebido. |
A soma de cada marretada traria o registro dessa última bagunça de sinal no final. Aí está a questão. No dia a dia temos como resposta de sinal essa bagunça apenas. A Transformada de Fourier permite que mudemos nosso ponto de observação, permite que saiamos de um espaço para o outro, porém, toda vez que fazemos essa mudança, vem o tio Heisenberg e faz um adicional de incerteza, deixando a visão embaçada, turva (mas isso é outra conversa).
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| Figura 5. Didática de Fourier e a incerteza, mudança do ponto de vista |
Dessa forma analisando, por exemplo, um espectro de amplitude, vemos onde se tem maior concentração de energia ou não, e podemos fazer o bom uso da ferramenta da Transformada de Fourier.
Matematicamente falando (e resumidamente)... É preciso ter em mente o que se conhece como Série de Fourier ( 2pi vs 2L).
Na Figura 6 temos uma função que descreve uma onda quadrada com período igual a 2pi ou 2L, quando isso acontece, é a chamada Série de Fourier (você pode aprender aqui com a tia Ketty Abaroa ). Os índices an e bn são mais fáceis de serem compreendidos (visualmente) numa onda senoidal... mas voltando à Figura 5, vemos no domínio da frequência cada espectro e suas respectivas contribuições, para o espectro total de energia. Portanto, na segunda imagem da Figura 5, quanto mais ondas estão sendo adicionadas\ somadas, mais a resposta resultado do Somatório se aproxima do registrado no Domínio T, esse somatório de an e bn é Série de Fourier.
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| Figura 6. Série de Fourier. |
Quando nos deparamos com funções não-periódicas, saímos da Série de Fourier para a Integral de Fourier em termos de funções simples seno e cosseno.
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| Figura 7. Integral de Fourier |
E novamente, os coeficientes A(w) e B(w) assumem a importância nos momentos de se analisar a contribuição de cada frequência w para o espectro total da energia da função investigada. O gráfico de (A(w) + B(w) em função de w é o chamado espectro de amplitude. O gráfico de (|A(w)|² +|B(w)²) em função de w, é o espectro de potência.
Substituindo os coeficientes A(w) e B(w) na Integral de Fourier, tem-se:
Figura 8. Integral de Fourier e os coeficientes.
Pode-se ainda reescrever de tal maneira da Figura 9 e 10.
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| Figura 9. Reescrita da função trigonométrica |
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| Figura 10. Reescrita da função em Euler |
Pode-se reescrever ainda em função da Forma Complexa da Integral de Fourier (Figura 11)
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| Figura 11. Forma Complexa da Integral de Fourier |
Voltando ao meu problema inicial, extraí os dados da plataforma do Global Mapper e fui mudar meu ponto de vista no MATLAB. Bastou analisar o espectro de potência da Figura 12, de modo que as frequências que considerei baixas foram até 13.4*10^(-4) rad/s representando a ABRg e as frequências altas aquelas acima de 13.4*10^(-4) rad/s representando ABRd, e plotado conforme Figura 13.
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| Figura 12. Análise espectro de potência |
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| Figura 13. Filtragem através de Transformada de Fourier |
A filtragem por meio da Transformada de Fourier (do meu ponto de vista) foi mais cautelosa. Guardou aquela frase? Se depois disso tudo você é capaz de também mudar seu ponto de vista em relação aos seus problemas, parabéns.
Faça 3 cortes e distribua 8 pedaços de queijo, afinal você está com a faca e o queijo nas mãos.
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Oziel Araújo, graduando em Geofísica pela Universidade Federal do Pampa - Caçapava do Sul, Brasil. Possui particular interesse no uso dos métodos sísmicos.
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