Transformada de Fourier

Ainda esta semana estivemos  tentando encontrar um jeito diferente (e infelizmente menos confiável) de extrair a Anomalia Bouguer Residual (ABRd) da Anomalia Bouguer Total (ABT), eis que veio o ajuste polinomial na plataforma Surfer e a digitalização (ponto a ponto equidistantes) da curva desse polinômio, a Anomalia Bouguer Regional (ABRg). No entanto, a ABT quando extraída da plataforma Global Mapper, possuía 1025 pontos de amostragem, enquanto aquela digitalizada no Surfer apenas 54, tendo então um vetor de size 1025 (ABT) e outro de 54 (ABRg). Resumindo, desse jeito a extração da ABRd da ABT não seria nada amigável. Foi então necessário utilizar o MATLAB para interpolar esses pontos que faltavam no vetor de ABRg.

Após interpolação e efetuada a operação (ABRd = ABT - ABRg ), eu me perguntei "PRA QUE ISSO?, onde é que tá Fourier?"

Figura 1. Pra que isso?

Esse trabalho nem tão confiável poderia ter sido simplificado apenas com a aplicação da chamada Transformada de Fourier. Justo, devido ao fato de que, para nós da Geofísica, as n-Transformadas são rezas/orações diárias.

Mas... o que são essas ditas Transformadas, e o que é essa Transformada de Fourier?

Figura 2. Você está fazendo isso errado.

Primeiramente, Fourier era um cara um tanto esperto, isso sem sombra de dúvidas.  Jean-Baptiste Joseph Fourier era um físico-matemático francês que morreu em 1830. Aqui tem um pouco da vida dele.

Quando estudamos Operadores Lineares e suas Transformações Lineares em Álgebra Linear ( com todos os seus conceitos de função entre dois espaços vetoriais e afins) chegamos ao final para descobrir que  essas operações têm por objetivo sair de um espaço para o outro basicamente, isto é, de um domínio para um contradomínio. MUDAR SEU PONTO DE VISTA! (Guarde isso).

A Transformada de Fourier é um dos artifícios matemáticos mais bem aplicados, isso porque suas aplicações estão presentes nos diversos campos que vão desde a "simples" compressão de uma imagem formato .jpeg à física quântica. Fourier mudou o ponto de vista dele e ajudou muita gente a mudar também.

Acredito que seja um bom exemplo, quando na aquisição sísmica damos um shot e logo o barulho  da marreta acertando a placa metálica chega aos nossos ouvidos. Quando a marreta acerta a placa, faz-se com que haja vibração e deslocamento do ar que está ao redor. O ar "fica saltando" para lá e para cá numa dança periódica, em torno de uma frequência Y (exemplo melhor seria com um diapasão ao invés da marreta e a placa). Mas digamos que essa frequência de vibração, o som, pudesse ser vista, e o que se veria, seria na realidade uma curva ondulada com uma aproximação mega-exagerada de uma senoide assim:

Figura 3. Aproximação exagerada da curva

Agora, se ao invés de uma única marretada na placa, fosse algo do tipo com 4 marretadas:

A onda sonora que se sente não é nada aconchegante, e novamente a aproximação exagerada, para essas 4 marretadas poderia ser algo assim:

Figura 4. Bagunça do sinal recebido.

A soma de cada marretada traria o registro dessa última bagunça de sinal no final. Aí está a questão. No dia a dia temos como resposta de sinal essa bagunça apenas. A Transformada de Fourier permite que mudemos nosso ponto de observação, permite que saiamos de um espaço para o outro, porém, toda vez que fazemos essa mudança, vem o tio Heisenberg e faz um adicional de incerteza, deixando a visão embaçada, turva (mas isso é outra conversa).

Figura 5.  Didática de Fourier e a incerteza, mudança do ponto de vista

Dessa forma analisando, por exemplo, um espectro de amplitude, vemos onde se tem maior concentração de energia ou não, e podemos  fazer o bom uso da ferramenta da Transformada de Fourier.

Matematicamente falando (e resumidamente)... É preciso ter em mente o que se conhece como Série de Fourier ( 2pi vs 2L).

Na Figura 6 temos uma função que descreve uma onda quadrada com período igual a 2pi ou 2L, quando isso acontece, é a chamada Série de Fourier (você pode aprender aqui com a tia Ketty Abaroa ). Os índices an e bn são mais fáceis de serem compreendidos (visualmente) numa onda senoidal... mas voltando à Figura 5, vemos no domínio da frequência cada espectro e suas respectivas contribuições, para o espectro total de energia. Portanto, na segunda imagem da Figura 5, quanto mais ondas estão sendo adicionadas\ somadas, mais a resposta resultado do Somatório se aproxima do registrado no Domínio T, esse somatório de an e bn é Série de Fourier.

Figura 6. Série de Fourier.

Quando nos deparamos com funções não-periódicas, saímos da Série de Fourier para a Integral de Fourier em termos de funções simples seno e cosseno.

Figura 7. Integral de Fourier

E novamente, os coeficientes A(w) e B(w) assumem a importância nos momentos de se analisar a contribuição de cada frequência w para o espectro total da energia da função investigada. O gráfico de (A(w) + B(w) em função de w é o chamado espectro de amplitude. O gráfico de (|A(w)|² +|B(w)²) em função de w, é o espectro de potência.

Substituindo os coeficientes A(w) e B(w) na Integral de Fourier, tem-se:

Figura 8. Integral de Fourier e os coeficientes.

Pode-se ainda reescrever de tal maneira da Figura 9 e 10.

Figura 9. Reescrita da função trigonométrica

Figura 10. Reescrita da função em Euler

Pode-se reescrever ainda em função da Forma Complexa da Integral  de  Fourier (Figura 11)

Figura 11. Forma Complexa da Integral  de  Fourier 

Voltando ao meu problema inicial, extraí os dados da plataforma do Global Mapper e fui mudar meu ponto de vista no MATLAB. Bastou analisar o espectro de potência da Figura 12, de modo que as frequências que considerei baixas foram até 13.4*10^(-4) rad/s representando a ABRg e as frequências altas aquelas acima de 13.4*10^(-4) rad/s representando ABRd, e plotado conforme Figura 13.

Figura 12. Análise espectro de potência

Figura 13. Filtragem através de Transformada de Fourier

A filtragem por meio da Transformada de Fourier (do meu ponto de vista) foi mais cautelosa. Guardou aquela frase? Se depois disso tudo você é capaz de também mudar seu ponto de vista em relação aos seus problemas, parabéns.

Faça 3 cortes e  distribua 8 pedaços de queijo, afinal você está com a faca e o queijo nas mãos.

Oziel Araújo, graduando em Geofísica pela Universidade Federal do Pampa - Caçapava do Sul, Brasil. Possui particular interesse no uso dos métodos sísmicos.