Minicurso Sondagem Elétrica Vertical

📘 Minicurso VESViewerTamanho do texto

Minicurso — Sondagem Elétrica Vertical do zero ao VESViewer

Física, cálculo à mão, métodos numéricos e inversão, passo a passo

🎤 Palestrante: Oz Araújo · OGS, Trieste · sobre

Conteúdo

• Sobre o minicurso e o palestrante
• Como usar este minicurso
• Módulo 1 — Corrente no solo e o semi-espaço
• Módulo 2 — Arranjos de eletrodos e fator geométrico
• Módulo 3 — Resistividade aparente e a curva de sondagem
• Módulo 4 — Terra em camadas: a transformada de resistividade
• Módulo 4B — Como se resolve a transformada de resistividade
• Módulo 5 — A integral de Hankel: do papel ao computador
• Módulo 5B — A função de Bessel J₀
• Módulo 6 — MN finito e o clutch (embreagem)
• Módulo 7 — Profundidade de investigação
• Módulo 8 — Inversão: do resíduo ao modelo
• Módulo 8B — Inversão manual “como no passado”: curvas de Orellana-Mooney
• Módulo 9 — Quantas camadas? Seleção de modelo
• Módulo 10 — Incerteza: resolução e equivalência
• Módulo 11 — Qualidade dos dados: ruído, V/I e deslocamento estático
• Módulo 12 — Além do 1-D: o simulador de aquisição (FWSim)
• Módulo 13 — Por que o VESViewer é mais avançado
• Módulo 14 — Prática guiada no programa
• Formulário
• Referências

Sobre o minicurso e o palestrante

Palestrante: Oz Araújo · Geofísico pesquisador no Istituto Nazionale di Oceanografia e di Geofisica Sperimentale (OGS), Trieste, Itália

Doutor em Geociências pela Università di Parma, mestre em Geologia pela Universidade Federal do Paraná e geofísico pela Universidade Federal do Pampa. Trabalha com eletrorresistividade e polarização induzida, métodos eletromagnéticos, potencial espontâneo, sísmica, GPR e métodos potenciais, do levantamento de campo à inversão e ao modelo 3D. Gerencia e executa projetos de água subterrânea, meio ambiente, geotecnia e obras, mineração, arqueologia, ambientes de montanha e riscos naturais.

Período	Formação e atuação	Instituição
2011–2015	Graduação em Geofísica	Universidade Federal do Pampa (UNIPAMPA), Brasil
2013–2014	Graduação sanduíche	Università di Pisa, Itália
2016–2018	Geofísico	Geodecon Geologia e Geofísica, Brasil
2016–2018	Mestrado em Geologia	Universidade Federal do Paraná (UFPR), Brasil
2019–2020	Geofísico · Research Fellow	Università di Parma, Itália
2021–2024	PhD em Earth Sciences	Università di Parma, Itália
2022–2023	PhD Visiting Researcher	University of Saskatchewan, Canadá
2024–atual	Geofísico pesquisador	OGS, Trieste, Itália

Perfil acadêmico: ORCID 0000-0002-6331-2023 · Google Scholar · blog Estudando Geofísica

Sobre o minicurso. Este material acompanha as aulas do palestrante sobre sondagem elétrica vertical (SEV). Ele parte da física da corrente no solo, passa por todas as contas que o computador faz (e que podem ser refeitas à mão) e chega à inversão moderna, sem deixar de lado a interpretação clássica com curvas-padrão. O material existe em português, inglês e italiano, em documento Word, slides e página interativa (HTML).

Como citar: Araújo, O. (2026). Minicurso — Sondagem Elétrica Vertical do zero ao VESViewer. OGS, Trieste. Material didático do VESViewer 2026.11.

Licença de uso: livre para estudo e ensino, citando a fonte. O VESViewer é distribuído gratuitamente como executável.

Como usar este minicurso

Este minicurso ensina tudo o que acontece dentro do VESViewer: da lei de Ohm até a inversão com escolha automática do número de camadas. Cada módulo tem:

• Ideia central: o conceito em linguagem simples;
• Equações: com o significado de cada símbolo;
• Exemplo resolvido à mão: todas as contas, passo a passo, com calculadora comum;
• No VESViewer: onde o conceito aparece no programa;
• Cards de revisão e exercícios com resposta.

Os números dos exemplos foram calculados com o próprio motor do VESViewer, então você pode conferir suas contas com o programa. A versão HTML deste material tem ainda calculadoras interativas: fator geométrico, transformada de resistividade passo a passo, curva de sondagem com controles deslizantes, profundidade de investigação e o algoritmo de inversão iteração por iteração.

Módulo	Tema	Duração
1	Corrente no solo e o semi-espaço	45 min
2	Arranjos de eletrodos e fator geométrico	60 min
3	Resistividade aparente e a curva de sondagem	45 min
4	Terra em camadas: a transformada de resistividade	60 min
4B	Como se resolve a transformada (dedução)	45 min
5	A integral de Hankel: do papel ao computador	75 min
5B	A função de Bessel J₀	45 min
6	MN finito e o clutch (embreagem)	45 min
7	Profundidade de investigação	45 min
8	Inversão: do resíduo ao modelo	90 min
8B	Inversão manual: curvas de Orellana-Mooney	90 min
9	Quantas camadas? Seleção de modelo	45 min
10	Incerteza: resolução e equivalência	60 min
11	Qualidade dos dados: ruído, V/I e deslocamento estático	45 min
12	Além do 1-D: o simulador de aquisição	45 min
13	Por que o VESViewer é mais avançado	30 min
14	Prática guiada no programa	60 min

Ao final há um formulário e a lista de referências citadas no texto como (Autor, ano).

Pré-requisitos: logaritmos, derivadas simples e noção de integral. Tudo o mais é construído aqui.

Módulo 1 — Corrente no solo e o semi-espaço

Ideia central

Injetamos uma corrente $I$ no solo por um eletrodo. A corrente se espalha em todas as direções para baixo, e o solo resiste a essa passagem. Quanto mais resistivo o material, maior a diferença de potencial necessária para empurrar a mesma corrente. Medindo potenciais na superfície, descobrimos a resistividade $\rho$ do subsolo.

Lei de Ohm na forma local

$$𝐉=\sigma 𝐄=-\sigma \nabla V,\sigma =\frac{1}{\rho }$$

• $𝐉$: densidade de corrente (A/m²);
• $𝐄$: campo elétrico (V/m);
• $V$: potencial (V);
• $\rho$: resistividade (Ω·m); $\sigma$: condutividade (S/m).

Fonte pontual num semi-espaço homogêneo

A corrente $I$ sai do eletrodo e atravessa hemisférios cada vez maiores. A área de um hemisfério de raio $r$ é $2\pi r^2$, então

$$J\left(r\right)=\frac{I}{2\pi r^2}\Rightarrow E\left(r\right)=\rho J=\frac{\rho I}{2\pi r^2}\Rightarrow V\left(r\right)={\int }_r^{\infty }Edr\prime =\frac{\rho I}{2\pi r}.$$

Equipotenciais (hemisférios) e linhas de corrente (radiais) em torno de uma fonte pontual.

Exemplo 1.1 — Potencial de um eletrodo (à mão)

Dados: $I=0,1$ A, $\rho =100$ Ω·m, distância $r=10$ m.

1. Denominador: $2\pi r=2\times 3,1416\times 10=62,832$ m.
2. Numerador: $\rho I=100\times 0,1=10$ V·m.
3. $V=10/62,832=\mathrm{𝟎}\mathbf{,}\mathrm{𝟏𝟓𝟗}𝐕$.

Dobrando a distância (20 m), o potencial cai à metade: 0,080 V. O potencial decai como $1/r$.

No VESViewer: esta fórmula é o ponto de partida de tudo. O programa nunca assume que o solo é homogêneo, mas verifica que, para um solo homogêneo, cada cálculo devolve exatamente o $\rho$ verdadeiro (é o teste nº 3 da autoverificação).

Cards de revisão

• Por que $2\pi$ e não $4\pi$? || Porque a corrente só se espalha para baixo (o ar não conduz): metade de uma esfera, área $2\pi r^2$.
• Como o potencial varia com a distância? || Como $1/r$: dobra a distância, cai à metade.
• O que é condutividade? || O inverso da resistividade: $\sigma =1/\rho$, em S/m.

Exercício

1.1 Com $I=0,5$ A e $\rho =40$ Ω·m, calcule $V$ a 5 m e a 50 m.

Resposta: $V\left(5\right)=40\times 0,5/(2\pi \cdot 5)=0,637$ V; $V\left(50\right)=0,0637$ V.

Módulo 2 — Arranjos de eletrodos e fator geométrico

Ideia central

Usamos quatro eletrodos: A e B injetam a corrente ($+I$ e $-I$); M e N medem a diferença de potencial $\Delta V$. Pela superposição, o potencial em M é a soma do efeito de A e de B:

$$V_M=\frac{\rho I}{2\pi }(\frac{1}{AM}-\frac{1}{BM}),V_N=\frac{\rho I}{2\pi }(\frac{1}{AN}-\frac{1}{BN})$$

$$\Delta V=V_M-V_N=\frac{\rho I}{2\pi }(\frac{1}{AM}-\frac{1}{AN}-\frac{1}{BM}+\frac{1}{BN}).$$

Isolando $\rho$:

$$\boxed{\rho =K\frac{\Delta V}{I},K=\frac{2\pi }{\frac{1}{AM}-\frac{1}{AN}-\frac{1}{BM}+\frac{1}{BN}}}$$

$K$ é o fator geométrico (em metros): depende só das posições dos eletrodos. Um eletrodo “no infinito” (muito longe) simplesmente some da fórmula, porque $1/\infty =0$.

Os arranjos que o VESViewer modela.

Tabela dos arranjos

Arranjo	Parâmetros	AM	AN	BM	BN	K
Schlumberger	$L=AB/2$, $b=MN/2$	$L-b$	$L+b$	$L+b$	$L-b$	$\pi (L^2-b^2)/2b$
Wenner-α	$a$	$a$	$2a$	$2a$	$a$	$2\pi a$
Wenner-Schlumberger	$a$, $n$	$na$	$(n+1)a$	$(n+1)a$	$na$	$\pi n(n+1)a$
Dipolo-dipolo	$a$, $n$	$na$	$(n+1)a$	$(n+1)a$	$(n+2)a$	$\pi n(n+1)(n+2)a$
Polo-dipolo	$a$, $n$	$na$	$(n+1)a$	∞	∞	$2\pi n(n+1)a$
Polo-polo	$a$	$a$	∞	∞	∞	$2\pi a$

Exemplo 2.1 — K de Schlumberger pela fórmula geral (à mão)

$AB/2=L=10$ m, $MN/2=b=1$ m. Distâncias: $AM=9$, $AN=11$, $BM=11$, $BN=9$ m.

1. $1/AM=1/9=0,111111$
2. $1/AN=1/11=0,090909$
3. Soma com sinais: $0,111111-0,090909-0,090909+0,111111=0,040404$
4. $K=2\pi /0,040404=6,283185/0,040404=\mathrm{𝟏𝟓𝟓}\mathbf{,}\mathrm{𝟓𝟏}𝐦$

Conferência pela fórmula fechada: $\pi (L^2-b^2)/2b=3,14159\times (100-1)/2=155,51$ m. ✔

Exemplo 2.2 — Os outros arranjos (à mão)

• Wenner, $a=10$ m: $K=2\pi \times 10=62,83$ m.
• Wenner-Schlumberger, $a=2$ m, $n=3$: $K=\pi \cdot 3\cdot 4\cdot 2=75,40$ m.
• Dipolo-dipolo, $a=5$ m, $n=3$: $K=\pi \cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 5=942,48$ m.
• Polo-dipolo, $a=5$ m, $n=2$: $K=2\pi \cdot 2\cdot 3\cdot 5=188,50$ m.

Note como o dipolo-dipolo tem K muito grande: o sinal $\Delta V$ fica pequeno e o ruído pesa mais.

No VESViewer: internamente toda leitura é descrita pelas quatro distâncias AM, AN, BM, BN. Por isso o programa aceita qualquer geometria (inclusive arranjos assimétricos, no formato # COLUMNS=AM,AN,BM,BN,RHO), e não só os arranjos com nome. Na aba 1 Data → Array você escolhe o arranjo. As figuras de aquisição (pasta docs/figures) mostram como os eletrodos se deslocam em cada arranjo.

Sequência de aquisição Schlumberger: leitura por leitura, quais eletrodos se moveram (marcadores cheios) e as leituras de clutch (faixas laranja).

Cards de revisão

• O que significa “eletrodo no infinito”? || Tão longe que seu termo $1/r$ é desprezível; ele some da fórmula de K.
• K depende do solo? || Não. Depende só da geometria dos eletrodos.
• Por que o dipolo-dipolo é mais sensível a ruído? || K é grande: para o mesmo ρ, o ΔV medido é pequeno.

Exercícios

2.1 Calcule K para Schlumberger com $L=50$ m e $b=5$ m, pela fórmula geral e pela fechada.

Resposta: $AM=45$, $AN=55$; soma $=2(1/45-1/55)=0,0080808$; $K=777,5$ m. Fórmula fechada: $\pi (2500-25)/10=777,5$ m.

2.2 Polo-polo com $a=20$ m: K = ?

Resposta: $K=2\pi \cdot 20=125,66$ m.

Módulo 3 — Resistividade aparente e a curva de sondagem

Ideia central

Num solo real (não homogêneo), a mesma conta ${\rho }_a=K\Delta V/I$ dá a resistividade aparente: a resistividade de um solo homogêneo que produziria a mesma leitura. Não é a resistividade de nenhuma camada específica, é uma “média ponderada” do que a corrente atravessou.

Na sondagem elétrica vertical (SEV / VES), abrimos o arranjo em torno de um centro fixo. Quanto maior a abertura, mais fundo a corrente vai. O gráfico ${\rho }_a\times$ abertura em escala log-log é a curva de sondagem.

Exemplo 3.1 — Uma leitura de campo real (arquivo schlumberger_instrument.dat)

Linha do arquivo: AB/2 = 15 m, MN/2 = 0,5 m, V/I = 0,0407449 Ω.

1. $L^2-b^2=225-0,25=224,75$
2. $K=\pi \times 224,75/(2\times 0,5)=706,07$ m
3. ${\rho }_a=706,07\times 0,0407449=\mathrm{𝟐𝟖}\mathbf{,}\mathrm{𝟕𝟕}𝛀\mathbf{·}𝐦$

O arquivo traz 28,7689 Ω·m. ✔ O VESViewer faz essa mesma conferência para todas as leituras quando o arquivo tem V/I (aba 3 Invert → Data quality).

Uma sondagem real com três ramos (três valores de MN). As faixas laranja são as aberturas medidas duas vezes (clutch).

Lendo a forma da curva

• Aberturas pequenas → ${\rho }_a\approx {\rho }_1$ (a corrente fica na camada de cima).
• Aberturas grandes → ${\rho }_a\to {\rho }_n$ (a corrente “enxerga” o substrato).
• No meio, a curva sobe (camada mais resistiva) ou desce (mais condutiva).

Tipos clássicos com três camadas: H (mínimo: ${\rho }_1>{\rho }_2<{\rho }_3$), K (máximo), A (crescente), Q (decrescente).

Cards de revisão

• Resistividade aparente é a de uma camada? || Não. É a de um solo homogêneo equivalente para aquela leitura.
• O que acontece com ρa para aberturas muito grandes? || Tende à resistividade do substrato, ρₙ.
• Curva tipo H? || Tem um mínimo: camada do meio mais condutiva.

Módulo 4 — Terra em camadas: a transformada de resistividade

Ideia central

Para um solo em camadas horizontais, a física (equação de Laplace com continuidade de potencial e de corrente nas interfaces) leva ao resultado de Stefanescu et al. (1930):

$$V\left(r\right)=\frac{I}{2\pi }{\int }_0^{\infty }T\left(\lambda \right)J_0\left(\lambda r\right)d\lambda$$

Toda a informação das camadas está numa única função, a transformada de resistividade $T\left(\lambda \right)$. $J_0$ é a função de Bessel de ordem zero, e $\lambda$ (1/m) funciona como um “número de onda”: λ pequeno = escala grande = profundo; λ grande = raso.

A recorrência de Pekeris

Começa no substrato e sobe camada por camada (Pekeris, 1940; Koefoed, 1979). A dedução completa está no Módulo 4B.

Lembrete: como se calcula T(λ)

Comece embaixo com $T={\rho }_n$. Suba uma camada de cada vez: $t=tanh\left(\lambda h_i\right)$ e $T\leftarrow {\rho }_i(T+{\rho }_{i}t)/({\rho }_i+Tt)$. O que sobra no topo é $T\left(\lambda \right)$.

Em fórmula:

$$T_n={\rho }_n,T_i={\rho }_i\frac{T_{i+1}+{\rho }_{i}tanh\left(\lambda h_i\right)}{{\rho }_i+T_{i+1}tanh\left(\lambda h_i\right)},i=n-1,\dots ,1$$

e $T\left(\lambda \right)=T_1$.

Propriedades que você deve verificar com as mãos:

• se todas as camadas têm o mesmo $\rho$, $T\equiv \rho$;
• $\lambda \to 0$: $tanh\to 0$ e $T\to {\rho }_n$ (fundo);
• $\lambda \to \infty$: $tanh\to 1$ e $T\to {\rho }_1$ (superfície).

Exemplo 4.1 — Verificação rápida com uma camada sobre o semi-espaço

${\rho }_1={\rho }_2=50$: $T_1=50(50+50t)/(50+50t)=50$ para qualquer $t$. ✔

Exemplo 4.2 — Recorrência de Pekeris passo a passo (à mão)

Modelo de 3 camadas: $\rho =100,10,1000$ Ω·m; $h_1=5$ m, $h_2=10$ m. Calcule $T$ em $\lambda =0,1$ m⁻¹.

Passo 0 — substrato: $T_3={\rho }_3=1000$.

Passo 1 — camada 2 (${\rho }_2=10$, $h_2=10$):

• $\lambda h_2=0,1\times 10=1,0$ → $tanh(1,0)=0,761594$
• numerador: $T_3+{\rho }_{2}t=1000+10\times 0,761594=1007,616$
• denominador: ${\rho }_2+T_{3}t=10+1000\times 0,761594=771,594$
• $T_2=10\times 1007,616/771,594=\mathrm{𝟏𝟑}\mathbf{,}\mathrm{𝟎𝟓𝟗}$

Passo 2 — camada 1 (${\rho }_1=100$, $h_1=5$):

• $\lambda h_1=0,5$ → $tanh(0,5)=0,462117$
• numerador: $13,059+100\times 0,462117=59,271$
• denominador: $100+13,059\times 0,462117=106,035$
• $T_1=100\times 59,271/106,035=\mathrm{𝟓𝟓}\mathbf{,}\mathrm{𝟖𝟗𝟕}𝛀\mathbf{·}𝐦$

O VESViewer calcula 55,8973. ✔

λ (1/m)	0,001	0,01	0,03	0,1	0,3	1	3
T(λ) (Ω·m)	488,3	92,1	45,9	55,9	92,2	99,99	100,00

T(λ) do exemplo: parte de ρ₃ = 1000 (fundo) e chega em ρ₁ = 100 (superfície), passando pelo mínimo da camada condutiva.

Uma propriedade que o VESViewer usa: dividir uma camada não muda nada

A tangente hiperbólica obedece à fórmula de adição

$$tanh(x+y)=\frac{tanhx+tanhy}{1+tanhxtanhy}.$$

Por isso, duas camadas com a mesma resistividade empilhadas equivalem a uma camada de espessura somada: a recorrência dá exatamente o mesmo $T$. Verificação numérica: $tanh(0,2+0,3)=0,462117$ e $(tanh0,2+tanh0,3)/(1+tanh0,2tanh0,3)=0,462117$. ✔ Este fato é a base da escolha rápida do número de camadas (Módulo 9).

Cards de revisão

• O que guarda T(λ)? || Toda a informação das camadas (ρ e h).
• T(λ) quando λ → 0? || ρₙ, a resistividade do substrato.
• Em que ordem se aplica a recorrência? || De baixo para cima: começa em Tₙ = ρₙ.
• T(λ) oscila? || Não. É suave; quem oscila é J₀.

Exercício

4.1 Duas camadas: ${\rho }_1=20$, ${\rho }_2=200$, $h_1=4$ m. Calcule $T(0,25)$.

Resposta: $\lambda h=1$, $t=0,761594$. $T=20(200+15,232)/(20+152,319)=20\times 215,232/172,319=24,98$ Ω·m.

Módulo 4B — Como se resolve a transformada de resistividade

Ideia central

No Módulo 4 usamos a recorrência de Pekeris pronta. Aqui vamos deduzi-la: de onde vem cada termo e por que a conta começa embaixo. A dedução segue Stefanescu et al. (1930), Pekeris (1940) e Koefoed (1979).

Passo 1 — Separar variáveis

Em cada camada vale ${\nabla }^{2}V=0$. Em coordenadas cilíndricas, com simetria em torno do eletrodo:

$$\frac{{\partial }^{2}V}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial z^2}=0.$$

Tentamos $V=J_0\left(\lambda r\right)Z\left(z\right)$. Como $J_0$ satisfaz $J_0″+\frac{1}{r}{J}_0\prime =-{\lambda }^2{J}_0$ (Módulo 5B), sobra para a profundidade

$$Z″={\lambda }^{2}Z\Rightarrow Z\left(z\right)=a{e}^{-\lambda z}+b{e}^{+\lambda z}.$$

A solução geral é a soma (integral) dessas parcelas para todos os $\lambda$: $V(r,z)={\int }_0^{\infty }\tilde{V}(\lambda ,z)J_0\left(\lambda r\right)d\lambda$.

Passo 2 — Uma grandeza que atravessa as interfaces sem saltar

Nas interfaces, o potencial e a densidade de corrente vertical são contínuos:

$${\tilde{V}}_i={\tilde{V}}_{i+1},\frac{1}{{\rho }_i}\frac{\partial {\tilde{V}}_i}{\partial z}=\frac{1}{{\rho }_{i+1}}\frac{\partial {\tilde{V}}_{i+1}}{\partial z}.$$

Então a razão entre os dois também é contínua. Definimos

$$T(\lambda ,z)=-\lambda \frac{\tilde{V}}{\frac{1}{\rho }\frac{\partial \tilde{V}}{\partial z}}\left(\mathrm{\text{unidade: Ω·m}}\right).$$

Passo 3 — No substrato

Ali só existe a parcela que decai para baixo: $\tilde{V}=a{e}^{-\lambda z}$, logo ${\partial }_z\tilde{V}=-\lambda \tilde{V}$ e

$$T=-\lambda \frac{\tilde{V}}{-\lambda \tilde{V}/{\rho }_n}={\rho }_n.$$

Por isso a conta começa embaixo: é o único lugar onde $T$ é conhecido sem cálculo.

Passo 4 — Atravessar uma camada (equação de Riccati)

Dentro da camada $i$, derivando $T$ em relação a $z$ e usando $\tilde{V}″={\lambda }^2\tilde{V}$, obtém-se

$$\frac{dT}{dz}=\frac{\lambda }{{\rho }_i}(T^2-{\rho }_i^2).$$

Integrando da base da camada até o topo (subindo uma espessura $h_i$):

$$\boxed{T_{topo}={\rho }_i\frac{T_{base}+{\rho }_{i}tanh\left(\lambda h_i\right)}{{\rho }_i+T_{base}tanh\left(\lambda h_i\right)}}$$

Esta é a recorrência de Pekeris.

Conferências que você pode fazer à mão:

• $h_i\to 0$: $tanh\to 0$ e $T_{topo}=T_{base}$. Uma camada sem espessura não muda nada.
• $h_i\to \infty$: $tanh\to 1$ e $T_{topo}={\rho }_i$. Uma camada muito grossa “esconde” o que está embaixo.
• $T_{base}={\rho }_i$: $T_{topo}={\rho }_i$. Camadas iguais se fundem.
• Derivando em $h_i=0$: $d{T}_{topo}/dh=\lambda ({\rho }_i^2-T_{base}^2)/{\rho }_i$, igual à equação de Riccati com $dz=-dh$. ✔

Passo 5 — A superfície e a fonte

Na superfície, o ar não conduz (${\partial }_{z}V=0$ fora do eletrodo), e o eletrodo injeta $I$. Combinando isso com a identidade de Sommerfeld-Lipschitz (Módulo 5B), chega-se à fórmula de Stefanescu:

$$V\left(r\right)=\frac{I}{2\pi }{\int }_0^{\infty }T\left(\lambda \right)J_0\left(\lambda r\right)d\lambda ,T\left(\lambda \right)=T(\lambda ,z=0).$$

A “escada” da recorrência: começa no substrato e sobe camada por camada até a superfície.

Lembrete: como calcular T(λ) em 4 passos

1. Escolha um valor de λ (em 1/m).
2. Comece com $T={\rho }_n$ (substrato).
3. Para cada camada, de baixo para cima: calcule $t=tanh\left(\lambda h_i\right)$ e depois $T\leftarrow {\rho }_i(T+{\rho }_{i}t)/({\rho }_i+Tt)$.
4. O valor final é $T\left(\lambda \right)$. Repita para outros λ para obter a curva.

Atalho de calculadora: $tanhx=(e^{2x}-1)/(e^{2x}+1)$; para $x>10$, $tanhx=1$ na prática.

Exercício

4B.1 Mostre que, para duas camadas, a recorrência dá $T={\rho }_1\frac{1+k{e}^{-2\lambda h_1}}{1-k{e}^{-2\lambda h_1}}$, com $k=({\rho }_2-{\rho }_1)/({\rho }_2+{\rho }_1)$.

Resposta: Substitua $tanhx=(1-e^{-2x})/(1+e^{-2x})$ em $T={\rho }_1({\rho }_2+{\rho }_{1}t)/({\rho }_1+{\rho }_{2}t)$ e multiplique numerador e denominador por $(1+e^{-2x})$: o numerador vira $({\rho }_2+{\rho }_1)+({\rho }_2-{\rho }_1)e^{-2x}$ e o denominador $({\rho }_1+{\rho }_2)-({\rho }_2-{\rho }_1)e^{-2x}$. Dividindo ambos por $({\rho }_1+{\rho }_2)$ aparece $k$.

Módulo 5 — A integral de Hankel: do papel ao computador

Ideia central

Juntando o Módulo 2 (quatro eletrodos) e o Módulo 4 (camadas):

$${\rho }_a=\frac{K}{2\pi }{\int }_0^{\infty }T\left(\lambda \right)D\left(\lambda \right)d\lambda ,D\left(\lambda \right)=J_0\left(\lambda AM\right)-J_0\left(\lambda AN\right)-J_0\left(\lambda BM\right)+J_0\left(\lambda BN\right).$$

Lembrete: como se calcula ρa a partir de T(λ)

1. Calcule $T\left(\lambda \right)$ pela recorrência (Módulo 4) numa malha de λ.
2. Calcule $D\left(\lambda \right)$ somando as quatro $J_0$ com os sinais do fator geométrico (Módulo 5B).
3. Integre $(T-{\rho }_1)D$ em λ e some ${\rho }_1$ (estabilização, abaixo).

Nos anos 1970 essa integral passou a ser calculada por filtros lineares (Ghosh, 1971; Anderson, 1979), que trocam a integral por uma soma ponderada de poucos valores de $T$.

O truque da estabilização

Como ${\int }_0^{\infty }{J}_0\left(\lambda r\right)d\lambda =1/r$, a integral de $D$ sozinha vale exatamente $2\pi /K$. Então podemos tirar ${\rho }_1$ de dentro:

$$\boxed{{\rho }_a={\rho }_1+\frac{K}{2\pi }{\int }_0^{\infty }[T\left(\lambda \right)-{\rho }_1]D\left(\lambda \right)d\lambda }$$

Vantagens: num solo homogêneo a integral é zero e ${\rho }_a={\rho }_1$ exatamente; e o integrando decai como $e^{-2\lambda h_1}$, ou seja, só precisamos integrar até um λ finito.

Em cima, o núcleo D(λ) oscila. Embaixo, o integrando estabilizado: oscila e morre rapidamente.

Calculando à mão: a série de imagens (duas camadas)

Para duas camadas, com o coeficiente de reflexão $k=({\rho }_2-{\rho }_1)/({\rho }_2+{\rho }_1)$, a integral vira uma soma (método das imagens; Mooney & Wetzel, 1956; Bhattacharya & Patra, 1968). Para Schlumberger ideal:

$${\rho }_a\left(L\right)={\rho }_1[1+2L^3\sum _{m=1}^{\infty }\frac{k^m}{(L^2+{\left(2m{h}_1\right)}^2{)}^{3/2}}].$$

Exemplo 5.1 — Série de imagens termo a termo (à mão)

${\rho }_1=100$, ${\rho }_2=10$, $h_1=5$ m, $L=AB/2=10$ m.

• $k=(10-100)/(10+100)=-0,818182$; $L^3=1000$; ${\left(2m{h}_1\right)}^2=100m^2$.

m	$k^m$	${(100+100m^2)}^{3/2}$	termo	${\rho }_a$ acumulado
1	−0,818182	2828,4	−2,8927×10⁻⁴	42,15
2	0,669421	11180,3	5,9875×10⁻⁵	54,12
3	−0,547708	31622,8	−1,7320×10⁻⁵	50,66
4	0,448125	70092,8	6,3933×10⁻⁶	51,94
5	−0,366648	132575	−2,7656×10⁻⁶	51,38
6	0,299985	225062	1,3329×10⁻⁶	51,65
…				→ 51,56

Coluna “acumulado” $=100\times (1+2000\times \Sigma )$. A série oscila e converge para 51,56 Ω·m. O VESViewer, com a integral de Hankel e MN quase nulo, dá 51,58 Ω·m (diferença de 0,03 %, que é o efeito do MN finito).

Curvas-padrão de duas camadas: todas começam em ρ₁ e terminam em ρ₂.

Como o computador calcula para qualquer número de camadas

1. Malha uniforme em λ com passo $\Delta \lambda =2\pi /\left(p{r}_{max}\right)$: $p$ pontos por oscilação da $J_0$ mais rápida (a maior distância). Uma malha logarítmica “perderia” as oscilações.
2. Truncamento em ${\lambda }_{max}=18/h_{min}$: o resto é menor que $e^{-36}\approx {10}^{-16}$.
3. Regra do trapézio com o integrando estabilizado.
4. Fatoração: $D\left(\lambda \right)$ depende só da geometria, $T\left(\lambda \right)$ só do modelo. O programa pré-calcula os pesos de $D$ uma vez por levantamento; a cada novo modelo calcula apenas $T$. Durante a busca, $T$ (que é suave) é avaliado numa malha grossa e interpolado, acelerando de 10 a 300 vezes; o resultado final usa sempre a malha completa.

No VESViewer: o teste de autoverificação compara a integral numérica com a série de imagens (concordância melhor que 0,05 %) e com os limites $L\to 0\Rightarrow {\rho }_1$ e $L\to \infty \Rightarrow {\rho }_n$.

Cards de revisão

• Por que subtrair ρ₁ do integrando? || Para a integral convergir rápido (decai como e^(−2λh₁)) e ser exata no caso homogêneo.
• O que é k na série de imagens? || O coeficiente de reflexão (ρ₂−ρ₁)/(ρ₂+ρ₁), entre −1 e +1.
• Por que malha uniforme e não logarítmica em λ? || Porque J₀ oscila com período constante 2π/r; uma malha log perderia oscilações.

Exercício

5.1 Com ${\rho }_1=100$, ${\rho }_2=10$, $h_1=5$ m, quanto vale ${\rho }_a$ para $L$ muito pequeno e muito grande?

Resposta: $L\to 0$: 100 Ω·m. $L\to \infty$: ${\rho }_1(1+k)/(1-k)=100\times 0,1818/1,8182=10$ Ω·m $={\rho }_2$.

Módulo 5B — A função de Bessel J₀

O que é e por que aparece

$J_0$ é a solução da equação de Bessel de ordem zero que é finita na origem:

$$x^{2}y″+xy\prime +x^{2}y=0,y\left(0\right)=1.$$

Ela aparece sempre que a equação de Laplace é resolvida com simetria cilíndrica, isto é, em torno de um eletrodo pontual (Watson, 1944). É o “seno” das ondas circulares: oscila como um cosseno, mas sua amplitude cai como $1/\sqrt{x}$.

Três maneiras de calculá-la

1. Série de potências (boa para $x$ pequeno, até ~8):

$$J_0\left(x\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^k}{{\left(k!\right)}^2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k}=1-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{64}-\frac{x^6}{2304}+\cdots$$

2. Forma integral (dá o significado: uma média de cossenos):

$$J_0\left(x\right)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }cos(xsen\theta )d\theta .$$

3. Assintótica (boa para $x$ grande):

$$J_0\left(x\right)\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}}cos(x-\frac{\pi }{4}).$$

Na prática, os programas usam a série perto da origem e aproximações racionais tabeladas para o resto (Abramowitz & Stegun, 1964, §9.4), com erro menor que ${10}^{-8}$. A calculadora interativa deste minicurso usa exatamente essas aproximações.

Exemplo 5B.1 — J₀(1) pela série (à mão)

$x/2=0,5$, então ${\left(x/2\right)}^{2k}=0,{25}^k$:

k	termo ${(-1)}^{k}0,{25}^k/{\left(k!\right)}^2$	soma parcial
0	+1	1,000000
1	−0,25	0,750000
2	+0,015625	0,765625
3	−0,000434	0,765191
4	+0,0000068	0,765198

Valor exato: 0,7651977. Com 5 termos o erro já é menor que ${10}^{-6}$.

Exemplo 5B.2 — J₀(10) pela assintótica (à mão)

1. Amplitude: $\sqrt{2/(\pi \cdot 10)}=\sqrt{0,063662}=0,25231$
2. Fase: $10-\pi /4=9,21460$ rad → $cos(9,21460)=-0,97799$
3. $J_0\left(10\right)\approx 0,25231\times (-0,97799)=\mathbf{-}\mathrm{𝟎}\mathbf{,}\mathrm{𝟐𝟒𝟔𝟕𝟔}$

Valor exato: −0,24594 (erro de 0,3 %). Já a série em $x=10$ precisaria de mais de 15 termos, com somas grandes que se cancelam.

À esquerda, J₀ com a série truncada (que diverge para x grande) e a assintótica (que falha perto da origem). À direita, o integrando da forma integral: J₀ é a média dessas curvas.

Duas identidades que sustentam todo o cálculo de SEV

$${\int }_0^{\infty }{J}_0\left(\lambda r\right)d\lambda =\frac{1}{r}\mathrm{\text{e}}{\int }_0^{\infty }{e}^{-\lambda z}{J}_0\left(\lambda r\right)d\lambda =\frac{1}{\sqrt{r^2+z^2}}.$$

A primeira (caso $z=0$ da segunda) garante que um solo homogêneo dá exatamente ${\rho }_a=\rho$ e permite a estabilização do Módulo 5. A segunda, de Sommerfeld e Lipschitz, transforma cada termo $e^{-2m\lambda h}$ da transformada numa “imagem” a profundidade $2mh$: é a origem da série de imagens (Módulo 5).

Zeros de J₀: 2,4048; 5,5201; 8,6537; 11,7915… Eles se afastam de ~π a cada oscilação. Por isso, ao integrar numericamente em λ, é preciso usar vários pontos por oscilação de $J_0\left(\lambda r\right)$: quanto maior $r$, mais fina a malha.

Cards de revisão

• De que equação J₀ é solução? || Da equação de Bessel de ordem zero, x²y″ + xy′ + x²y = 0, com y(0) = 1.
• Quando usar a série e quando a assintótica? || Série para x pequeno (até ~8); assintótica para x grande.
• Quanto vale ∫₀^∞ J₀(λr) dλ? || 1/r. É o que torna exato o caso homogêneo.
• Por que J₀ aparece na SEV? || Porque o potencial de um eletrodo tem simetria cilíndrica em torno dele.

Exercício

5B.1 Calcule $J_0\left(2\right)$ com 4 termos da série.

Resposta: $x/2=1$: $1-1+1/4-1/36=0,2222$; com o 5º termo ($+1/576$) chega a $0,2240$. Valor exato: 0,22389.

Módulo 6 — MN finito e o clutch (embreagem)

Ideia central

Muitos programas assumem que o dipolo MN é infinitamente curto e depois corrigem o K com uma aproximação. O erro dessa aproximação é exatamente

$$\epsilon ={\left(\frac{b}{L}\right)}^2={\left(\frac{MN/2}{AB/2}\right)}^2.$$

À esquerda, o erro da aproximação. À direita, o mesmo modelo medido com três MN diferentes dá três ramos distintos.

Exemplo 6.1 — Tamanho do erro (à mão)

b/L	0,05	0,1 (MN = AB/5)	0,2	0,25	0,4
erro (%)	0,25	1,0	4,0	6,25	16,0

É por isso que a regra de campo diz “MN ≤ AB/5”: para proteger uma aproximação. O VESViewer não faz essa aproximação, então a regra não se aplica a ele.

O clutch

Quando AB cresce, $\Delta V$ fica pequeno demais para ler. O operador então abre MN e repete a mesma abertura AB/2 com o MN antigo e com o novo. Os dois valores não são iguais, mesmo num solo perfeitamente em camadas:

Exemplo 6.2 — Mesmo AB/2, dois MN

Modelo 120 / 35 / 4 / 80 Ω·m, AB/2 = 15 m:

• MN/2 = 0,5 m → ${\rho }_a$ = 28,51 Ω·m
• MN/2 = 3 m → ${\rho }_a$ = 29,55 Ω·m

Diferença de 3,7 % que é física, não erro de medição. Um programa que trata essa diferença como “deslocamento a corrigir” distorce o modelo.

No VESViewer: cada leitura é modelada com o seu MN exato. Os pares sobrepostos ficam como estão (opção padrão No correction), e a opção Share weight between clutch overlaps faz o par contar como uma estação só. A correção de ramo (Auto clutch) existe para quando sobra uma diferença além da física, isto é, um efeito lateral (Módulo 11).

Cards de revisão

• De onde vem a regra MN ≤ AB/5? || De proteger a aproximação de MN infinitesimal, cujo erro é (b/L)².
• Dois MN na mesma abertura devem dar o mesmo ρa? || Não. Num solo em camadas a diferença é física e calculável.
• O que é o clutch? || A troca de MN no meio da sondagem, com leituras sobrepostas.

Módulo 7 — Profundidade de investigação

Ideia central

Até que profundidade uma leitura “enxerga”? A resposta tradicional é uma regra de bolso (por exemplo, AB/2 dividido por um número fixo). A abordagem física é a de Roy & Apparao (1971). O VESViewer calcula a resposta para cada leitura, a partir da física da sensibilidade.

A sensibilidade em profundidade

Para dois polos a uma distância $d$ na superfície, integrando a sensibilidade num plano horizontal à profundidade $z$:

$$g(z;d)=\frac{z}{{(d^2+4z^2)}^{3/2}},{\int }_0^{Z}gdz=\frac{1}{4}(\frac{1}{d}-\frac{1}{\sqrt{d^2+4Z^2}}).$$

Para o arranjo, soma-se com os sinais de sempre: $G\left(z\right)=g(z;AM)-g(z;AN)-g(z;BM)+g(z;BN)$. A profundidade mediana $z_e$ é onde se acumula 50 % da sensibilidade total:

$$\frac{\sum _j{s}_j(\frac{1}{d_j}-\frac{1}{\sqrt{d_j^2+4z_e^2}})}{\sum _j{s}_j/d_j}=\frac{1}{2},s=(+1,-1,-1,+1).$$

Exemplo 7.1 — Polo-polo em forma fechada (à mão)

Um só par, distância $a$: $\frac{1}{a}-\frac{1}{\sqrt{a^2+4z^2}}=\frac{1}{2a}$ → $\sqrt{a^2+4z^2}=2a$ → $4z^2=3a^2$ → ${𝐳}_{𝐞}\mathbf{=}\frac{\sqrt{\mathrm{𝟑}}}{\mathrm{𝟐}}𝐚\mathbf{=}\mathrm{𝟎}\mathbf{,}\mathrm{𝟖𝟔𝟔}𝐚$. Para $a=10$ m: 8,66 m.

Exemplo 7.2 — Wenner por bisseção (à mão, com calculadora)

$a=10$ m: distâncias 10, 20, 20, 10. Denominador $\sum s_j/d_j=0,1-0,05-0,05+0,1=0,1$.

Função $F\left(z\right)=[2(0,1-1/\sqrt{100+4z^2})-2(0,05-1/\sqrt{400+4z^2})]/0,1$. Queremos $F\left(z\right)=0,5$.

iteração	intervalo	z testado	F(z)	decisão
1	[0, 50]	25	0,979	> 0,5 → metade de cima
2	[0, 25]	12,5	0,882	> 0,5
3	[0, 12,5]	6,25	0,599	> 0,5
4	[0, 6,25]	3,125	0,258	< 0,5 → metade de baixo
5	[3,125, 6,25]	4,69	0,446	< 0,5
6	[4,69, 6,25]	5,47	0,528	> 0,5
…				→ 5,19 m

Resultado: $z_e=0,519a$, igual à tabela publicada de referência para Wenner.

Sensibilidade de Wenner (a = 10 m) e sua acumulada: a mediana fica em 5,19 m.

No VESViewer: a maior $z_e$ da sondagem é a DOI mostrada nos gráficos; camadas abaixo dela aparecem sombreadas e o log avisa se um contato ficou abaixo da DOI. A mesma DOI limita as espessuras durante a inversão.

Cards de revisão

• zₑ de Wenner? || 0,519·a.
• zₑ de polo-polo? || (√3/2)·a = 0,866·a.
• O que significa um contato abaixo da DOI? || Que os dados quase não o controlam: não interpretar.

Módulo 8 — Inversão: do resíduo ao modelo

Ideia central

Problema direto: dado o modelo ($\rho$, $h$), calcular ${\rho }_a$ (Módulos 4–5). Problema inverso: dados os ${\rho }_a$ medidos, encontrar o modelo. Fazemos isso ajustando o modelo até que as curvas calculada e medida coincidam.

Por que trabalhar em logaritmo

Parâmetros: $m=[{log}_{10}{\rho }_1,\dots ,{log}_{10}{\rho }_n,{log}_{10}{h}_1,\dots ]$.

1. Positividade automática ($\rho ={10}^m>0$).
2. Erro relativo: um erro de 5 % pesa igual em 1 Ω·m e em 1000 Ω·m, porque $log{\rho }_a^c-log{\rho }_a^o=log\left({\rho }_a^c/{\rho }_a^o\right)$.

Função objetivo

$$\Phi \left(m\right)=\sum _k{w}_k^2{[log{\rho }_{a,k}^{calc}\left(m\right)-log{\rho }_{a,k}^{obs}]}^2+{\mu }^2\sum _i{(log{\rho }_{i+1}-log{\rho }_i)}^2$$

O segundo termo é a regularização (suavidade, ou “Occam”; Constable et al., 1987): com $\mu$ grande, prefere modelos com pouca variação. A inversão de SEV por mínimos quadrados amortecidos foi popularizada por Inman (1975).

Exemplo 8.1 — O caso mais simples: semi-espaço (à mão)

Medidas: 102, 95, 99, 104 Ω·m. Para um semi-espaço, ${\rho }_a=\rho$ em qualquer abertura, então $\Phi (log\rho )=\sum {(log\rho -log{\rho }_k)}^2$. Derivando e igualando a zero: $log\rho =\mathrm{\text{média de}}log{\rho }_k$.

1. $log$: 2,00860; 1,97772; 1,99564; 2,01703
2. média = 1,99975
3. $\rho ={10}^{1,99975}=\mathrm{𝟗𝟗}\mathbf{,}\mathrm{𝟗𝟒}𝛀\mathbf{·}𝐦$ (média geométrica).

Gauss-Newton passo a passo

Linearizamos em torno do modelo atual: $r(m+\delta )\approx r\left(m\right)+J\delta$, onde $r$ é o vetor de resíduos e $J_{kj}=\partial r_k/\partial m_j$ (o jacobiano). Minimizando:

$$\boxed{\left(J^{T}J\right)\delta =-J^{T}r},m\leftarrow m+\delta .$$

Exemplo 8.2 — Duas incógnitas, três iterações

Seis leituras Schlumberger (AB/2 = 2, 4, 8, 15, 30, 60 m) de um modelo verdadeiro 100 / 10 Ω·m com $h_1=5$ m (fixo). Incógnitas: ${\rho }_1$, ${\rho }_2$. Partida: 30 e 60 Ω·m.

iteração	ρ₁	ρ₂	RMS (%)	Φ
0	30,00	60,00	240,6	1,588
1	105,41	6,06	23,1	0,0940
2	100,89	10,06	0,79	7,0×10⁻⁵
3	100,00	10,00	0,00	≈ 0

Leitura do jacobiano na iteração 0 (colunas: ∂/∂log ρ₁ e ∂/∂log ρ₂):

AB/2	2	4	8	15	30	60
∂/∂ρ₁	0,993	0,952	0,785	0,532	0,281	0,115
∂/∂ρ₂	0,007	0,048	0,215	0,468	0,719	0,885

As aberturas pequenas “sentem” ρ₁; as grandes, ρ₂. Cada linha soma 1: é a “fração de responsabilidade” de cada camada naquela leitura. O passo da iteração 0 foi $\delta =(+0,546;-0,995)$ em log: ρ₁ multiplicado por ${10}^{0,546}=3,51$ e ρ₂ dividido por ${10}^{0,995}=9,9$.

Mapa da função objetivo Φ(ρ₁, ρ₂) e o caminho do Gauss-Newton até o mínimo.

Limites e múltiplos inícios

• Limites (bounds): espessuras entre um mínimo e ~3× a DOI; o método usado respeita os limites (“região de confiança refletiva”).
• Mínimos locais: a superfície Φ de muitas camadas tem vários vales. O VESViewer parte de vários modelos aleatórios (multi-start, campo Trials) e fica com o melhor.
• Camadas travadas (Lk): um parâmetro conhecido (por exemplo, de um poço) sai do vetor de incógnitas.

Cards de revisão

• Por que inverter em log? || Positividade garantida e resíduo relativo.
• O que é o jacobiano? || A sensibilidade de cada leitura a cada parâmetro.
• Para que serve o multi-start? || Escapar de mínimos locais.
• Equação do passo de Gauss-Newton? || (JᵀJ)δ = −Jᵀr.

Exercício

8.1 Medidas de um semi-espaço: 50, 60, 55 Ω·m. Qual ρ a inversão em log devolve?

Resposta: média de log = (1,69897 + 1,77815 + 1,74036)/3 = 1,73916 → ρ = 54,84 Ω·m.

Módulo 8B — Inversão manual “como no passado”: curvas de Orellana-Mooney

Ideia central

Até os anos 1970, quase toda SEV era interpretada sem computador: a curva de campo era desenhada em papel bilogarítmico transparente e sobreposta a um álbum de curvas-padrão calculadas uma única vez. Os álbuns mais usados foram os de Mooney & Wetzel (1956), da Compagnie Générale de Géophysique (CGG, 1963) e de Orellana & Mooney (1966). Saber fazer isso à mão ensina três coisas que o computador esconde: o que cada trecho da curva “enxerga”, por que a ambiguidade (equivalência) existe e como conferir um resultado automático.

Como um álbum é construído

1. Adimensionalizar. Dividindo tudo por ${\rho }_1$ e $h_1$, a curva de duas camadas depende de um único número, ${\rho }_2/{\rho }_1$ (ou $k$): $$\frac{{\rho }_a}{{\rho }_1}=F(\frac{AB/2}{h_1};\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}).$$
2. Calcular F. Para cada razão (0,01; 0,02; 0,05; … 100) e cada $L/h_1$, calcula-se ${\rho }_a/{\rho }_1$ pela série de imagens (Módulo 5) ou, hoje, pela recorrência e a integral de Hankel (Módulos 4–5).
3. Desenhar em bilog com décadas iguais nos dois eixos (o mesmo “módulo”, por exemplo 62,5 mm por década). Isso é essencial: só assim a sobreposição funciona por translação.
4. Marcar a cruz (origem do álbum) no ponto $(L/h_1,{\rho }_a/{\rho }_1)=(1,1)$.

Álbum de duas camadas (Schlumberger) construído com o mesmo motor de cálculo do curso. Cada curva tem uma razão ρ₂/ρ₁. A cruz vermelha marca a origem (1, 1).

Como ler o álbum:

• À esquerda ($L\ll h_1$), toda curva tende a 1: a corrente só “vê” a primeira camada.
• À direita ($L\gg h_1$), cada curva tende à sua razão ${\rho }_2/{\rho }_1$: a corrente “vê” o substrato.
• Se o substrato é isolante (${\rho }_2\to \infty$), a curva sobe com inclinação de 45° (assíntota ${\rho }_a={\rho }_{1}L/h_1=L/S$). Uma subida de 45° na curva de campo indica um substrato resistivo e dá diretamente a condutância $S$ da cobertura.
• Se o substrato é condutor (${\rho }_2\to 0$), a curva desce continuamente em direção a ${\rho }_2$; o trecho de queda é mais longo que o de subida.

Os quatro tipos de curva de três camadas

Tipos H, K, A e Q: a forma da curva diz a ordem das resistividades antes de qualquer conta.

Tipo	Relação	Forma	Exemplo geológico
H	${\rho }_1>{\rho }_2<{\rho }_3$	mínimo	solo seco / aquífero argiloso / embasamento
K	${\rho }_1<{\rho }_2>{\rho }_3$	máximo	solo / camada seca / argila
A	${\rho }_1<{\rho }_2<{\rho }_3$	sobe sempre	sedimento sobre rocha
Q	${\rho }_1>{\rho }_2>{\rho }_3$	desce sempre	aluvião sobre água salobra

Curvas com mais camadas são combinações: HK, KH, QH, etc. (Orellana, 1972; Koefoed, 1979).

Passo 0 — Pré-processamento (antes de sobrepor)

Antes de qualquer sobreposição, a curva de campo é preparada:

1. Plotar ${\rho }_a$ × $AB/2$ em papel bilog transparente com o mesmo módulo do álbum.
2. Unir os ramos do clutch: quando MN é trocado, os segmentos ficam deslocados. Desloca-se cada segmento verticalmente até coincidir com o anterior nos pontos de sobreposição (Módulo 6). Nunca se desloca o primeiro ramo, que representa o solo raso com MN pequeno.
3. Suavizar: descartar pontos isolados claramente ruins (contato ruim, cabo cruzado) e traçar uma curva contínua pelo restante (Módulo 11).
4. Identificar o tipo (H, K, A, Q) e o número mínimo de camadas pela quantidade de máximos, mínimos e inflexões.

Depois vem o passo seguinte: montar o modelo inicial com as folhas de Orellana e refiná-lo por inversão. É o fluxo que seguimos abaixo, inclusive a planilha de fatores usada na prática.

Passo 1 — Sobreposição de duas camadas (a cruz)

Regra de ouro: deslize a folha de campo sobre o álbum sem girar, mantendo os eixos paralelos, até que os pontos de campo caiam sobre uma curva do álbum (ou entre duas, interpolando).

Lido o encaixe:

• a cruz do álbum cai, na folha de campo, no ponto $(AB/2,{\rho }_a)=(h_1,{\rho }_1)$;
• o rótulo da curva que se ajustou dá ${\rho }_2/{\rho }_1$.

Isso funciona porque, em escala log, dividir por $h_1$ e por ${\rho }_1$ é apenas transladar o gráfico.

Exemplo 8B.1 — Interpretando uma SEV de duas camadas

Dados de campo (Schlumberger): começa em ~80 Ω·m para AB/2 pequeno e cai até ~8 Ω·m para AB/2 grande.

1. Após o encaixe, a cruz cai em $AB/2=6$ m e ${\rho }_a=80$ Ω·m. Logo $h_1=6$ m e ${\rho }_1=80$ Ω·m.
2. A curva que se ajusta tem rótulo ${\rho }_2/{\rho }_1=0,1$. Logo ${\rho }_2=0,1\times 80=8$ Ω·m.
3. Conferência: o último ponto (8,15 Ω·m em AB/2 = 150 m) bate com a assíntota ${\rho }_2$.

O modelo usado para gerar os dados era exatamente 80 Ω·m / 6 m / 8 Ω·m.

Sobreposição: a folha de campo (pontos) deslizada sobre o álbum até o encaixe. A cruz dá ρ₁ e h₁; o rótulo da curva dá ρ₂.

Passo 2 — Método do ponto auxiliar (três ou mais camadas)

Para mais camadas, os álbuns completos teriam infinitas combinações. A solução clássica (Ebert, 1943; Kalenov, 1957; Zohdy, 1965) é interpretar a curva por partes, sempre com o álbum de duas camadas, e substituir as camadas já interpretadas por uma camada equivalente.

As regras de substituição vêm dos parâmetros de Dar Zarrouk (Maillet, 1947):

• Tipo H (camada condutiva no meio): a corrente corre na horizontal, então conserva-se a condutância longitudinal $S=h/\rho$: $$h_e=h_1+h_2,\frac{h_e}{{\rho }_e}=\frac{h_1}{{\rho }_1}+\frac{h_2}{{\rho }_2}.$$
• Tipo K (camada resistiva no meio): a corrente atravessa na vertical, então conserva-se a resistência transversal $T=\rho h$: $$h_e=h_1+h_2,{\rho }_e{h}_e={\rho }_1{h}_1+{\rho }_2{h}_2.$$
• Para os tipos A e Q, os álbuns trazem diagramas auxiliares próprios, com fatores de correção para $h_e$ e ${\rho }_e$ (Orellana & Mooney, 1966; Bhattacharya & Patra, 1968). Usar só S ou só T, nesses casos, é uma aproximação grosseira.

Exemplo 8B.2 — Curva tipo H, passo a passo

Curva de campo com 22 pontos (AB/2 de 1,5 a 300 m), com um mínimo de ~24 Ω·m perto de AB/2 = 19 m e subida no final.

1. Ramo esquerdo (cruz 1). Sobrepondo os primeiros 6 pontos ao álbum de duas camadas: ${\rho }_1=120,9$ Ω·m, $h_1=2,62$ m (o rótulo diz que a camada 2 é bem mais condutiva).

2. Ramo direito (cruz 2, o ponto auxiliar). As duas primeiras camadas são trocadas por uma camada equivalente. Sobrepondo os últimos 7 pontos ao álbum: ${\rho }_e=22,52$ Ω·m, $h_e=18,97$ m, e o substrato ${\rho }_3=317,4$ Ω·m.

3. Desfazer a equivalência (regra H, conserva S).

• $S=h_e/{\rho }_e=18,97/22,52=0,8425$ S
• $h_2=h_e-h_1=18,97-2,62=16,36$ m
• $h_2/{\rho }_2=S-h_1/{\rho }_1=0,8425-2,62/120,9=0,8425-0,0217=0,8208$
• ${\rho }_2=16,36/0,8208=\mathrm{𝟏𝟗}\mathbf{,}\mathrm{𝟗𝟑}$ Ω·m

4. Conferir. O modelo manual (120,9 / 19,9 / 317 Ω·m; 2,62 / 16,4 m) reproduz os dados com RMS = 3,75 %.

	ρ₁	ρ₂	ρ₃	h₁	h₂	S = Σh/ρ	RMS
Modelo verdadeiro	120	15	300	3,00	12,0	0,825	—
Manual (ponto auxiliar)	120,9	19,9	317	2,62	16,4	0,842	3,75 %
Inversão (Gauss-Newton)	120,8	17,3	320	2,85	14,3	0,849	2,06 %

Leitura: ρ₁ e ρ₃ ficam bem determinados; S fica correto nos três; ρ₂ e h₂ variam juntos. Isso é a equivalência do Módulo 10, vista “à mão”: uma camada condutiva fina só é conhecida pela sua condutância.

Método do ponto auxiliar: cruz 1 (ramo esquerdo), cruz 2 (camada equivalente) e o modelo manual final sobre os dados.

A planilha de fatores (como se faz no campo)

Na prática atual, muitos intérpretes fazem o ponto auxiliar sobre uma imagem da sondagem no PowerPoint, com as folhas de curvas em transparência, e anotam tudo numa planilha. O procedimento é o mesmo do papel vegetal (albanene) e vale a pena copiá-lo:

1. Preparar a imagem: a figura da sondagem deve ter exatamente a mesma escala (o mesmo módulo bilog) das folhas de curvas e conter só o gráfico, sem título nem legenda, com os eixos ρa (vertical) e AB/2 (horizontal).
2. Primeira camada: projetar o primeiro trecho da curva nos eixos. Lê-se ${\rho }_1$ no eixo vertical e $h_1$ (pseudoprofundidade) no horizontal.
3. Segmentos de duas camadas (traço vermelho): com a cruz no ponto fixo, escolher a curva de duas camadas que passa pelo maior número de pontos. O rótulo dela é o fator de resistividade $f_{\rho }={\rho }_{i+1}/{\rho }_i$. Anotar sempre o fator.
4. Curva auxiliar (tracejado azul): sobre o diagrama auxiliar do tipo da curva (H se desce e sobe, K se sobe e desce, A ou Q nos casos monótonos), com a cruz encaixada, traçar a curva auxiliar do mesmo fator. A próxima cruz tem de cair sobre este tracejado: é o “ponto auxiliar”.
5. Fator de espessura: no mesmo diagrama auxiliar, ler onde cai a cruz seguinte. Esse número é o fator de espessura $f_h$.
6. Repetir de duas em duas camadas até o fim da curva.
7. Calcular o modelo na planilha: $${\rho }_{i+1}={\rho }_i{f}_{\rho ,i},h_{i+1}=(\sum _{j\le i}{h}_j)f_{h,i},z_{i+1}=z_i+h_{i+1}.$$ Isto é, a nova resistividade é a anterior vezes o fator vermelho; a nova espessura é a profundidade até ali vezes o fator azul.
8. Levar para a inversão: digitar esse modelo como modelo inicial e restringir a busca (número de camadas fixo, faixas de ρ e h em torno dos valores manuais). Assim a inversão converge para um modelo geologicamente coerente, em vez de inventar o número de camadas.

Exemplo 8B.3 — A planilha de fatores para a curva H do Exemplo 8B.2

Camada	$f_{\rho }$ (vermelho)	$f_h$ (azul)	ρ (Ω·m)	h (m)	z (m)
1	—	—	120,9	2,62	2,62
2	0,165	6,24	120,9 × 0,165 = 19,9	2,62 × 6,24 = 16,4	18,97
3	15,9	—	19,9 × 15,9 = 317	∞	—

Os fatores são as leituras feitas no álbum: $f_{\rho }$ é o rótulo da curva de duas camadas e $f_h$ é a posição da nova cruz no diagrama auxiliar. O resultado é o mesmo modelo manual do Exemplo 8B.2, agora organizado como no campo.

Lembrete: as duas fórmulas da planilha

Resistividade nova = resistividade anterior × fator de resistividade. Espessura nova = profundidade até ali (soma das espessuras) × fator de espessura.

Duas observações que valem para qualquer programa:

• Clicar em “inverter” sem modelo inicial costuma dar um número de camadas arbitrário e modelos longe da geologia. A interpretação manual (que também é uma inversão, feita pelo olho) dá o número de camadas e as faixas de busca.
• Uma regra de bolso comum diz que a sondagem “enxerga” cerca de um terço da abertura AB (ou menos). No Módulo 7 você viu como calcular essa profundidade em vez de estimá-la.

Passo a passo completo com 4 camadas

O Exemplo 8B.2 tinha 3 camadas. Agora fazemos o caminho inteiro numa curva de 4 camadas, uma figura por passo, exatamente como se faz com o papel transparente. A regra que guia tudo:

Lembrete: a regra do ponto auxiliar

Cada nova cruz não pode ser colocada em qualquer lugar: ela tem de cair sobre a curva auxiliar traçada a partir da cruz anterior. A curva auxiliar é o caminho de todas as camadas equivalentes possíveis:

• se a camada recém-lida é mais condutiva (rótulo < 1, tipo H): conserva-se $S$, $\frac{h_e}{h_a}=1+t,\frac{{\rho }_e}{{\rho }_a}=\frac{1+t}{1+t/\mu }$;
• se é mais resistiva (rótulo > 1, tipo K): conserva-se $T$, $\frac{h_e}{h_a}=1+t,\frac{{\rho }_e}{{\rho }_a}=\frac{1+\mu t}{1+t}$;

em que $(h_a,{\rho }_a)$ é a cruz anterior, $\mu$ o rótulo da curva anterior e $t=h_{nova}/h_a$. Os diagramas auxiliares clássicos (Ebert, 1943; Kalenov, 1957; Orellana & Mooney, 1966) são famílias destas curvas, uma para cada $\mu$.

Passo 1 — Plotar e classificar. Plote a curva no papel bilog com o mesmo módulo do álbum. Ela desce, sobe e desce de novo: um mínimo e um máximo, logo 4 camadas, tipo HK (${\rho }_1>{\rho }_2<{\rho }_3>{\rho }_4$). Divida a curva em três ramos, um para cada sobreposição.

Passo 1: a curva de campo e os três ramos que serão interpretados.

Passo 2 — Primeira sobreposição (cruz 1). Deslize o álbum de duas camadas sobre o ramo 1 até os primeiros pontos caírem sobre uma curva. Leia:

• cruz 1: ${\rho }_1=120,7$ Ω·m e $h_1=1,99$ m;
• rótulo da curva: ${\rho }_2/{\rho }_1=0,168$ → ${\rho }_2=0,168\times 120,7=20,3$ Ω·m.

Passo 2: o álbum encaixado no ramo esquerdo; a cruz 1 dá ρ₁ e h₁.

Passo 3 — Curva auxiliar a partir da cruz 1. O rótulo é menor que 1 (camada 2 condutiva), então use o diagrama auxiliar H com a cruz sobre a cruz 1 e trace a curva de rótulo 0,168 (tracejado verde). A cruz 2 vai cair em algum ponto dessa linha.

Passo 3: a curva auxiliar H de rótulo 0,168 a partir da cruz 1.

Passo 4 — Segunda sobreposição (cruz 2). Volte ao álbum de duas camadas. Mantendo a cruz sobre o tracejado verde, deslize até uma curva encaixar no ramo 2 (a subida). Leia:

• cruz 2: $h_{e1}=16,03$ m e ${\rho }_{e1}=22,6$ Ω·m (camada equivalente às camadas 1 + 2);
• $h_2=h_{e1}-h_1=16,03-1,99=14,03$ m;
• rótulo: ${\rho }_3/{\rho }_{e1}=6,92$ → ${\rho }_3=6,92\times 22,6=156,4$ Ω·m.

Conferência da regra H: $h_{e1}/{\rho }_{e1}=0,709$ e $h_1/{\rho }_1+h_2/{\rho }_2=0,017+0,691=0,708$. ✔

Passo 4: a cruz 2 sobre a auxiliar e o álbum encaixado na subida.

Passo 5 — Curva auxiliar a partir da cruz 2. Agora o rótulo é maior que 1 (camada 3 resistiva): use o diagrama auxiliar K com a cruz sobre a cruz 2 e trace a curva de rótulo 6,92.

Passo 5: a curva auxiliar K de rótulo 6,92 a partir da cruz 2.

Passo 6 — Terceira sobreposição (cruz 3). Com a cruz sobre o novo tracejado, encaixe o álbum no ramo 3 (a descida final). Leia:

• cruz 3: $h_{e2}=174,3$ m e ${\rho }_{e2}=144,1$ Ω·m (equivalente às camadas 1 + 2 + 3);
• $h_3=h_{e2}-h_{e1}=174,3-16,03=158,3$ m;
• rótulo: ${\rho }_4/{\rho }_{e2}=0,296$ → ${\rho }_4=0,296\times 144,1=42,6$ Ω·m.

Conferência da regra K: ${\rho }_{e2}{h}_{e2}=25117$ e ${\rho }_{e1}{h}_{e1}+{\rho }_3{h}_3=362+24758=25120$. ✔

Passo 6: a cruz 3 sobre a auxiliar K e o álbum encaixado na descida final.

Passo 7 — Conferir e refinar. Calcule a curva do modelo manual e compare com os dados. Depois use-o como modelo inicial da inversão.

	ρ₁	ρ₂	ρ₃	ρ₄	h₁	h₂	h₃	RMS
Manual (Passos 1–6)	120,7	20,3	156,4	42,6	1,99	14,0	158,3	7,9 %
Inversão a partir do manual	120,9	20,2	224,3	36,9	1,99	15,0	95,3	1,3 %
Modelo verdadeiro	120	20	250	40	2,00	15,0	80,0	—

Passo 7: o modelo manual já reproduz a forma da curva; a inversão, partindo dele, chega ao nível do ruído.

Leitura do resultado. As duas primeiras camadas saem quase exatas à mão. A camada 3 sai grossa demais e pouco resistiva, mas o produto ${\rho }_3{h}_3$ (a resistência transversal $T$) fica próximo: 24 800 à mão, 21 400 na inversão e 20 000 no modelo verdadeiro. É a equivalência do tipo K. Os erros também se acumulam de cruz em cruz: por isso a 3ª e a 4ª camadas são as menos precisas, e por isso o manual vira modelo inicial, não resposta final.

Exercício interativo 8B.5 — a sua vez, com 4 camadas

Os dados abaixo vêm de outra curva de 4 camadas, agora do tipo KH (sobe, desce e sobe). Repita os passos 2 a 6 com as próprias mãos:

1. arraste a folha até o álbum encaixar no ramo esquerdo e escolha o rótulo;
2. confirme: aparece a curva auxiliar; arraste a cruz 2 ao longo dela e escolha o rótulo que encaixa no ramo do meio;
3. confirme de novo e faça o mesmo com a cruz 3 no ramo direito;
4. leia o seu modelo de 4 camadas, veja o RMS e clique em Inverter a partir do meu modelo.

Só depois abra a solução de referência. Uma leitura razoável fica entre 8 % e 15 % de RMS; a inversão deve chegar perto de 1 %.

Lembrete: roteiro da interpretação manual

1. Pré-processar: mesmo módulo do álbum, unir ramos do clutch, suavizar.
2. Classificar o tipo (H, K, A, Q).
3. Ramo esquerdo → álbum de 2 camadas → cruz 1 → ${\rho }_1$, $h_1$.
4. Ramo seguinte → álbum de 2 camadas → cruz 2 → ${\rho }_e$, $h_e$ e a próxima resistividade.
5. Desfazer a equivalência: H conserva S = h/ρ; K conserva T = ρh.
6. Repetir para cada nova camada.
7. Calcular a curva do modelo e conferir com os dados. O resultado manual é um ótimo modelo inicial para a inversão.

Passo 3 — Do modelo manual à inversão

Na prática moderna, a interpretação manual não é jogada fora: ela vira o modelo inicial da inversão.

1. Leia o modelo da sobreposição (cruz e rótulo da curva) ou do ponto auxiliar.
2. Use-o como ponto de partida do Gauss-Newton (Módulo 8).
3. A inversão ajusta todos os parâmetros ao mesmo tempo. Partindo de um modelo manual razoável, ela converge em poucas iterações e evita mínimos locais.

No widget interativo abaixo, depois de encaixar a folha no álbum (arrastando o gráfico com o mouse ou com os controles), clique em Usar como modelo inicial e inverter para ver as iterações partirem da sua leitura.

Por que o método manual tem limites

• Cada encaixe tem erro de leitura de ~5–10 % (espessura da linha, interpolação entre curvas).
• Os erros se acumulam a cada ponto auxiliar: a 4ª ou 5ª camada fica imprecisa.
• As regras S/T são exatas só quando a camada intermediária é fina em relação à profundidade (Zohdy, 1974).
• Não há medida de incerteza: o intérprete não sabe quanto o modelo poderia variar.

A inversão automática resolve exatamente esses quatro pontos: ajusta tudo ao mesmo tempo, sem acumular erro, e devolve a resolução de cada parâmetro (Módulos 8–10).

Cards de revisão

• O que a cruz do álbum fornece? || ρ₁ (eixo vertical) e h₁ (eixo horizontal) na folha de campo.
• Por que só se pode transladar, nunca girar? || Porque dividir por ρ₁ e h₁ em escala log é uma translação; girar mudaria a física.
• O que significa uma subida de 45°? || Substrato muito resistivo; ρa = L/S dá a condutância da cobertura.
• Na curva H, o que se conserva na camada equivalente? || A condutância longitudinal S = h/ρ.
• Na curva K, o que se conserva? || A resistência transversal T = ρh.
• Por que ρ₂ e h₂ saem diferentes na mão e no computador, mas S não? || Equivalência: os dados só determinam bem a razão h₂/ρ₂.

Exercícios

8B.1 Em um encaixe de duas camadas, a cruz caiu em AB/2 = 4 m e ρa = 35 Ω·m, e a curva tem rótulo 10. Dê o modelo.

Resposta: ρ₁ = 35 Ω·m, h₁ = 4 m, ρ₂ = 350 Ω·m.

8B.2 Curva tipo K com cruz 1 dando ρ₁ = 20 Ω·m, h₁ = 2 m, e cruz 2 dando ρₑ = 150 Ω·m, hₑ = 10 m. Calcule h₂ e ρ₂.

Resposta: h₂ = 10 − 2 = 8 m. T: 150×10 = 20×2 + ρ₂×8 → ρ₂ = (1500 − 40)/8 = 182,5 Ω·m.

8B.3 O final de uma curva sobe a 45° e passa por ρa = 200 Ω·m em AB/2 = 100 m. Quanto vale a condutância da cobertura?

Resposta: S = L/ρa = 100/200 = 0,5 S.

Módulo 9 — Quantas camadas? Seleção de modelo

Ideia central

Com mais camadas o ajuste sempre melhora (ou empata). Logo, o menor RMS não serve de critério: um modelo com camadas demais ajusta o ruído.

Por que o RMS nunca piora: o aninhamento

Pela propriedade do Módulo 4, dividir uma camada em duas de mesma resistividade não muda a resposta. Então qualquer modelo de $n-1$ camadas é um modelo de $n$ camadas, e o melhor ajuste com $n$ camadas é no mínimo tão bom quanto com $n-1$.

Dividir a camada 2 não muda a curva; a partir daí, o otimizador refina o modelo de 4 camadas.

O critério do cotovelo

Escolhe-se o menor $n$ depois do qual o RMS praticamente não melhora, e nunca abaixo do piso de ruído dos dados.

Exemplo 9.1 — A varredura no arquivo de exemplo Schlumberger

camadas	2	3	4	5	6	7
RMS (%)	35,03	13,64	1,31	1,21	1,16	1,11

De 3 para 4 camadas o RMS cai 10 vezes; depois, só décimos. Piso de ruído dos dados: 1,37 %. Escolha: 4 camadas. Modelo obtido: 122,6 / 37,2 / 4,9 / 79,3 Ω·m com h = 2,4 / 8,4 / 30,9 m. O modelo verdadeiro era 120 / 35 / 4 / 80 Ω·m com h = 2,5 / 9 / 25 m.

RMS × número de camadas: o cotovelo em 4 coincide com o piso de ruído.

No VESViewer: 2 Model → Choose layer count (sweep 2-7). Cada contagem parte das divisões do melhor modelo anterior (partidas “quentes”) mais alguns modelos aleatórios. A varredura para sozinha quando duas contagens seguidas melhoram menos de 3 %. Leva de 1 a 3 segundos.

Cards de revisão

• O menor RMS indica o melhor modelo? || Não: mais camadas sempre ajustam melhor, inclusive o ruído.
• O que é o cotovelo? || O ponto em que acrescentar camadas deixa de melhorar o ajuste de forma relevante.
• Por que dividir uma camada não muda a resposta? || Pela fórmula de adição da tanh: camadas iguais empilhadas equivalem a uma só.

Módulo 10 — Incerteza: resolução e equivalência

Equivalência

Uma camada fina entre camadas mais grossas não é determinada pelos dados em $\rho$ e $h$ separadamente, só por uma combinação, os parâmetros de Dar Zarrouk (Maillet, 1947; Zohdy, 1974). O Módulo 8B mostra o mesmo efeito na interpretação manual:

• camada condutiva (curva H): só a condutância longitudinal $S=h/\rho$ importa;
• camada resistiva (curva K): só a resistência transversal $T_r=\rho h$ importa.

Por quê? Se $\lambda h$ é pequeno, $tanh\left(\lambda h\right)\approx \lambda h$. Para ${\rho }_2\ll T_3$, a recorrência fica $T_2\approx T_3/(1+T_3\lambda h_2/{\rho }_2)$: só aparece $h_2/{\rho }_2$.

Exemplo 10.1 — Três modelos, uma curva

Camada 2 a 10 m de profundidade, entre 100 e 200 Ω·m:

ρ₂ (Ω·m)	h₂ (m)	S = h₂/ρ₂ (S)
5	2	0,4
10	4	0,4
2,5	1	0,4

A diferença máxima entre as curvas é de 0,95 % (e de 0,24 % entre o 1º e o 3º): menor que o ruído típico de campo. Os dados não distinguem esses modelos.

Equivalência: três modelos diferentes, curvas praticamente idênticas.

Resolução (SVD)

Decompomos o jacobiano $J=US{V}^T$. Os valores singulares $s_k$ dizem quanto os dados mudam ao mover o modelo na direção $v_k$. Mantemos só as direções com $s_k$ acima do nível de ruído:

$$R=V_{𝒦}{V}_{𝒦}^T,R_{jj}=\sum _{k\in 𝒦}{v}_{kj}^2\in [0,1].$$

• $R_{jj}\approx 1$: parâmetro bem determinado pelos dados.
• $R_{jj}\approx 0$: parâmetro no “espaço nulo” (equivalência!).

No VESViewer: a coluna Res da tabela (aba 2 Model) mostra $R_{jj}$ de cada ρ e h depois da inversão, e a resolução pode aparecer sob a legenda de cores (4 Display). Para quebrar uma equivalência, trave (Lk) o parâmetro conhecido por outra fonte, por exemplo a espessura vista num poço.

Cards de revisão

• Camada fina condutiva: o que os dados determinam? || A condutância S = h/ρ.
• Camada fina resistiva? || A resistência transversal T = ρ·h.
• Resolução 0,1 num parâmetro significa? || Que ele está praticamente indeterminado pelos dados.

Módulo 11 — Qualidade dos dados: ruído, V/I e deslocamento estático

Piso de ruído a partir das leituras repetidas

Em cada abertura com mais de uma leitura, calcule a média geométrica $\bar{\rho }$ e os desvios percentuais $\delta =100({\rho }_a-\bar{\rho })/\bar{\rho }$. O piso é o RMS dos desvios:

$${\epsilon }_{piso}=\sqrt{\frac{1}{M}\sum {\delta }^2}.$$

Exemplo 11.1 — Piso de ruído do arquivo de exemplo (à mão)

AB/2	leituras (Ω·m)	média geométrica	desvios (%)
15	28,769 / 29,243	29,005	−0,81 / +0,82
20	20,761 / 21,208	20,983	−1,06 / +1,07
70	9,880 / 9,456	9,666	+2,22 / −2,17
100	13,106 / 12,855	12,980	+0,97 / −0,96

RMS dos 8 desvios = 1,37 %. O ajuste final (1,31 %) está no nível do ruído: não há por que acrescentar camadas.

Atenção: parte dessa diferença é a física do MN finito (Módulo 6). O piso calculado assim é, portanto, conservador.

Conferência V/I com arredondamento

${\rho }^{chk}=K\cdot \left(V/I\right)$. Se V/I foi impresso com $d$ casas decimais, só o arredondamento já causa um erro de até $\eta =100\cdot \frac{0,5\cdot {10}^{-d}}{\left|V/I\right|}$ %. Uma leitura só é suspeita se a diferença passar de $max(2\%,1,5\eta )$.

Deslocamento estático entre ramos

Uma heterogeneidade rasa perto de M ou N multiplica todo um ramo por um fator: na escala log, o ramo sobe ou desce sem mudar de forma. A estimativa (média geométrica das razões nas aberturas comuns) é:

$$s_i=s_j+\frac{1}{m}\sum _{\ell }{log}_{10}\frac{{\rho }_a^{\left(j\right)}\left(x_{\ell }\right)}{{\rho }_a^{\left(i\right)}\left(x_{\ell }\right)}.$$

O espalhamento das razões mostra se é mesmo um deslocamento rígido: se as razões variam com a abertura (espalhamento > 0,04 em log ≈ 10 %), nenhum deslocamento e nenhum modelo 1-D explica os dados.

Painel da aba 1 Data com Auto clutch: cada ramo deslocado por um fator.

Cards de revisão

• Como se calcula o piso de ruído? || RMS dos desvios percentuais das leituras repetidas em torno da média geométrica.
• Deslocamento estático é aditivo ou multiplicativo? || Multiplicativo: um fator por ramo (deslocamento rígido em log).
• RMS do ajuste abaixo do piso de ruído significa? || Que o modelo está ajustando ruído: camadas demais.

Módulo 12 — Além do 1-D: o simulador de aquisição (FWSim)

Ideia central

E se o subsolo não for em camadas perfeitas? O FWSim simula a aquisição inteira sobre modelos com corpos 2-D/3-D, topografia, polarização induzida e ruído, e devolve uma sondagem sintética para o VESViewer inverter. É o laboratório para responder: “o meu modelo 1-D é confiável aqui?”

As equações, em resumo

Potencial secundário. $V=V_p+V_s$, com $V_p=I/\left(2\pi {\sigma }_{0}R\right)$ (semi-espaço). O secundário é suave e obedece a

$$\nabla \cdot \left(\sigma \nabla V_s\right)=-\nabla \cdot ((\sigma -{\sigma }_0)\nabla V_p),$$

o que elimina a singularidade da fonte da conta numérica.

2,5-D. Se $\sigma$ não varia ao longo de $y$, uma transformada cosseno em $y$ transforma o problema 3-D numa família de problemas 2-D, um por número de onda $k$:

$$-\nabla \cdot \left(\sigma \nabla \hat{V}\right)+k^2\sigma \hat{V}=\frac{I}{2}\delta ,V=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\infty }\hat{V}dk.$$

3-D com topografia. Elementos finitos numa malha que acompanha o terreno.

IP (Seigel). Durante a injeção, $\sigma \to \sigma (1-m)$, e

$$m_a=\frac{\Delta V_{\eta }-\Delta V_0}{\Delta V_{\eta }}.$$

Ruído. $\Delta V^{obs}=\Delta V(1+{ϵ}_r{\xi }_1)+{ϵ}_v{\xi }_2$, com $\xi$ gaussianos, repetido em Monte Carlo.

FWSim: densidade de corrente na seção para uma leitura.

No VESViewer: Tools → FWSim. O teste de autoverificação compara o solver 2,5-D com a solução analítica (diferença de 0,5 %).

Módulo 13 — Por que o VESViewer é mais avançado

Comparação com a prática comum dos programas de SEV, sem citar nomes:

Aspecto	Prática comum	VESViewer
Integral de Hankel	Filtros digitais lineares pré-tabelados, que assumem MN → 0	Integral calculada com as distâncias reais (AM, AN, BM, BN)
MN finito	Correção aproximada; exige MN ≤ AB/5	Exato para qualquer MN; regra desnecessária
Clutch	Ramos “colados” por deslocamento forçado	Cada leitura com seu MN; deslocamento só se sobrar efeito lateral, com diagnóstico de espalhamento
Arranjos	Lista fixa de arranjos	Qualquer geometria colinear, inclusive assimétrica e com eletrodos remotos
Profundidade de investigação	Regra de bolso fixa	Calculada da sensibilidade para cada leitura; confere com a tabela publicada
Inversão	Um único modelo inicial	Multi-start, em log, com limites, travas e regularização opcional
Número de camadas	Escolha manual	Varredura 2–7 com aninhamento exato e critério de cotovelo/ruído
Incerteza	Raramente mostrada	Resolução SVD por parâmetro e avisos de equivalência e DOI
Qualidade dos dados	Visual	Piso de ruído, conferência V/I com arredondamento, espalhamento de ramos
Validação	Não documentada	Autoverificação embutida: K, DOI, semi-espaço, série de imagens, limites, solver 2,5-D
Além do 1-D	Ausente	FWSim: 2,5-D, 3-D com topografia, IP e ruído, com retorno ao inversor

Em uma frase: o VESViewer não aproxima onde não precisa, mede a incerteza do que entrega e testa a si mesmo.

Módulo 14 — Prática guiada no programa

A janela do VESViewer depois de uma inversão.

1. Abrir os dados: File → Open example data… → schlumberger_instrument.dat. Leia no log: número de leituras, arranjo, sobreposições, DOI, piso de ruído.
2. Conferir a qualidade: aba 3 Invert → Data quality. Refaça à mão a conta do Exemplo 3.1 para uma linha qualquer.
3. Profundidade: aba 1 Data → Depth of investigation. Compare $z_e$ da maior abertura com a regra de bolso que você conhecia.
4. Escolher as camadas: 2 Model → Choose layer count. Compare com a tabela do Exemplo 9.1.
5. Inverter: F5. Observe o RMS e compare com o piso de ruído.
6. Resolução: veja a coluna Res. Qual parâmetro está pior determinado? Por quê (Módulo 10)?
7. Equivalência na prática: trave (Lk) a espessura da camada 3 com um valor 20 % maior e inverta de novo. O RMS piora? Quanto mudou ρ₃? Calcule $S=h/\rho$ antes e depois.
8. Simular: Tools → FWSim. Rode o solver analítico e depois o 2,5-D, compare as curvas e exporte a sondagem sintética.
9. Exportar: Ctrl+E (resultados) e Ctrl+S (figura).

Desafio final

Abra dipole_dipole_instrument.dat e wenner_instrument.dat. Os dois foram gerados com o mesmo modelo. Inverta ambos com 4 camadas e compare a resolução dos parâmetros. Qual arranjo resolve melhor a camada condutiva? Justifique com a sensibilidade (Módulo 7) e o fator geométrico (Módulo 2).

Formulário

Grandeza	Fórmula
Potencial de fonte pontual	$V=\rho I/\left(2\pi r\right)$
Fator geométrico	$K=2\pi /(1/AM-1/AN-1/BM+1/BN)$
Resistividade aparente	${\rho }_a=K\Delta V/I$
Recorrência de Pekeris	$T_i={\rho }_i(T_{i+1}+{\rho }_{i}tanh\lambda h_i)/({\rho }_i+T_{i+1}tanh\lambda h_i)$
Integral estabilizada	${\rho }_a={\rho }_1+\frac{K}{2\pi }\int (T-{\rho }_1)Dd\lambda$
Coeficiente de reflexão	$k=({\rho }_2-{\rho }_1)/({\rho }_2+{\rho }_1)$
Erro do MN aproximado	${\left(b/L\right)}^2$
Sensibilidade de um par	$g=z/{(d^2+4z^2)}^{3/2}$
Passo de Gauss-Newton	$\left(J^{T}J\right)\delta =-J^{T}r$
Condutância / resistência transversal	$S=h/\rho$, $T_r=\rho h$
Piso de ruído	$\sqrt{\overline{{\delta }^2}}$
Recorrência de duas camadas	$T={\rho }_1(1+k{e}^{-2\lambda h_1})/(1-k{e}^{-2\lambda h_1})$
Série de J₀	$J_0\left(x\right)={\sum }_k{(-1)}^k{\left(x/2\right)}^{2k}/{\left(k!\right)}^2$
Assintótica de J₀	$J_0\left(x\right)\approx \sqrt{2/\left(\pi x\right)}cos(x-\pi /4)$
Identidade de Lipschitz	${\int }_0^{\infty }{e}^{-\lambda z}{J}_0\left(\lambda r\right)d\lambda =1/\sqrt{r^2+z^2}$
Ponto auxiliar H	$h_e=h_1+h_2$, $h_e/{\rho }_e=h_1/{\rho }_1+h_2/{\rho }_2$
Ponto auxiliar K	$h_e=h_1+h_2$, ${\rho }_e{h}_e={\rho }_1{h}_1+{\rho }_2{h}_2$
Planilha de fatores	${\rho }_{i+1}={\rho }_i{f}_{\rho }$, $h_{i+1}=(\sum h)f_h$
Assíntota de 45°	${\rho }_a=L/S$

Referências

Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (1964). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55. Cap. 9 (funções de Bessel).

Anderson, W. L. (1979). Numerical integration of related Hankel transforms of orders 0 and 1 by adaptive digital filtering. Geophysics, 44(7), 1287–1305.

Bhattacharya, P. K.; Patra, H. P. (1968). Direct Current Geoelectric Sounding: Principles and Interpretation. Elsevier, Amsterdam.

Compagnie Générale de Géophysique (1963). Master curves for electrical sounding, 2ª ed. European Association of Exploration Geophysicists, Haia.

Constable, S. C.; Parker, R. L.; Constable, C. G. (1987). Occam’s inversion: a practical algorithm for generating smooth models from electromagnetic sounding data. Geophysics, 52(3), 289–300.

Ebert, A. (1943). Grundlagen zur Auswertung geoelektrischer Tiefenmessungen. Gerlands Beiträge zur Geophysik, 10, 1–17.

Ghosh, D. P. (1971). The application of linear filter theory to the direct interpretation of geoelectrical resistivity sounding measurements. Geophysical Prospecting, 19(2), 192–217.

Inman, J. R. (1975). Resistivity inversion with ridge regression. Geophysics, 40(5), 798–817.

Kalenov, E. N. (1957). Interpretation of vertical electrical sounding curves. Gostoptekhizdat, Moscou (em russo).

Koefoed, O. (1979). Geosounding Principles 1: Resistivity Sounding Measurements. Elsevier, Amsterdam.

Maillet, R. (1947). The fundamental equations of electrical prospecting. Geophysics, 12(4), 529–556.

Mooney, H. M.; Wetzel, W. W. (1956). The potentials about a point electrode and apparent resistivity curves for a two-, three-, and four-layer earth. University of Minnesota Press, Minneapolis.

Orellana, E. (1972). Prospección geoeléctrica en corriente continua. Paraninfo, Madri.

Orellana, E.; Mooney, H. M. (1966). Master tables and curves for vertical electrical sounding over layered structures. Interciencia, Madri.

Pekeris, C. L. (1940). Direct method of interpretation in resistivity prospecting. Geophysics, 5(1), 31–42.

Roy, A.; Apparao, A. (1971). Depth of investigation in direct current methods. Geophysics, 36(5), 943–959.

Stefanescu, S. S.; Schlumberger, C.; Schlumberger, M. (1930). Sur la distribution électrique potentielle autour d’une prise de terre ponctuelle dans un terrain à couches horizontales, homogènes et isotropes. Journal de Physique et le Radium, 1(4), 132–140.

Watson, G. N. (1944). A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2ª ed. Cambridge University Press.

Zohdy, A. A. R. (1965). The auxiliary point method of electrical sounding interpretation, and its relationship to the Dar Zarrouk parameters. Geophysics, 30(4), 644–660.

Zohdy, A. A. R. (1974). Use of Dar Zarrouk curves in the interpretation of vertical electrical sounding data. U.S. Geological Survey Bulletin 1313-D.

Zohdy, A. A. R. (1989). A new method for the automatic interpretation of Schlumberger and Wenner sounding curves. Geophysics, 54(2), 245–253.

Quiz final

Dezessete perguntas sobre todo o minicurso. Marque e clique em Corrigir.